Выражение n!+(n+1)!+72, когда оно бывает точной степенью?
Найдите все такие целые неотрицательные числа n, при которых значение выражения n!+(n+1)!+72 является точной степенью (выше первой) натурального числа.
Докажите, что других таких n нет.
0 просмотренных постов скрыто
Простое число 33452526613163815331008716231414660332886629356801
Если сложить факториалы первых пяти натуральных чисел, оканчивающихся на 1, получится простое число!
Действительно, 1!+11!+21!+31!+41! = 33452526613163815331008716231414660332886629356801
Вах!
Более того, все меньшие частичные суммы тоже дают простые числа:
1!+11!+21!+31! = 8222838654177973908667734629356801;
1!+11!+21! = 51090942171749356801;
1!+11! = 39916801.
На какую наибольшую степень числа 3 может делиться сумма?
В четвёртом туре матрегаты 2005-2006 учебного года девятиклассникам предлагалась следующая задача:
На какую наибольшую степень числа 3 может делиться сумма вида 1! + 2! + 3! + ... + n!?
Мне кажется, что на четвёртую степень. К примеру, сумма факториалов первых семи натуральных чисел равна 5913, следовательно, делится на 81, но не делится на 243.
Однако официальный ответ на задачу звучит чуточку иначе:
Ответ: на третью степень числа 3.
Вот ссылка на этот ответ: https://view.officeapps.live.com/op/view.aspx?src=https://olympiads.mccme.ru/regata/20052006/Text_9.doc&wdOrigin=BROWSELINK (задача 4.3).
Если загуглить условие нашей задачи, то легко увидеть, что тот же самый ответ фигурирует ещё в нескольких местах, например, здесь: https://earthz.ru/solves/Zadacha-po-matematike-1435 .
Мой же ответ не фигурирует пока нигде. Что с ним не так? Будьте добры, помогите разобраться. Заранее благодарю!
Показать полностью
Факториальная лесенка 3-2: где ступень становится степенью?
Для каких натуральных n выражение (3^1-2^1)!+(3^2-2^2)!+ ... +(3^n-2^n)! является точной степенью?
Васильковые числа
Назовём натуральное число васильковым, если его можно разбить на два натуральных слагаемых таким образом, чтобы произведение этих двух слагаемых было факториалом.
Перед вами все васильковые числа, не превышающие 100:
2, 3, 5, 7, 10, 11, 14, 22, 23, 25, 26, 29, 34, 43, 54, 56, 58, 61, 62, 63, 72, 82, 89, 98.
а) Как вы успели заметить, до сих пор мы не встретили ни одного числа, которое делится на 4, но не делится на 8. Тем не менее таких чисел в этой последовательности бесконечно много. Докажите это.
б) Докажите, что для каждого натурального n найдётся бесконечно много васильковых чисел, у каждого из которых ровно n двоек в разложении на множители.